Power Perpetual人如其名，就是把永续合约里面的交易指数 (index)换掉，换成index²，就完成了（也可以换成三次方之类的，但我只讨论index²）。 至于为什么要这么做，还有这么做为什么跟选择权有关系，就是这篇文章的重点了。
为了更好解释，我们再把上述对于商品的定义，拆成两个部分介绍：
- 用Perpetual Swap交易一个指数(index)
- 交易指数从x变成x²的意义
1.永续合约(Perpetual Swap)
相信大家对于永续合约都有一定的认识。在永续合约里面，系统透过一个指数当成输入，配合Funding的机制，可以做出一个能让人做多(Long)或做空(Short)该指数的市场，还可以做到槓杆。
简而言之，只要系统随便给一个数字，这个数字会涨跌起伏，就可以让大家透过永续合约来做空或做多，进行交易。在Power Perpetual的设计中，永续合约也只是拿来当作Execution layer，可以想像成拿来让大家可以做空跟做多的平台，因此可以说，真正要实作Power Perpetual，其实对于一个已经在做永续合约的团队来说，只要把一个数字x改成x²就做完了。
（没错，我们现在就是在做一个阳春版的Perp，只为了要交易x²）
第一个部分这样就讲完了，可以把永续合约视为Power Perpetual的实作，至于真正交易x²的意义，就会比较有趣了。
2.交易x²的意义
今天，我们来试着用有一个很不「直观」的角度来看金融商品，就是我们试着忘记什么是选择权（不管什么是执行、什么是履约价、什么是到期日），而是只用一个金融商品的「价格」来看它。如果两个商品对于spot price变动有一样的价格曲线，我们就把它视为同一种商品。
以下我们全部讨论Long的一方，例如今天如果现货交易(spot trade)，那么现价每涨一块，就赚一块，收益与现价变化的关系如下：
今天如果我们交易两倍杠杆，收益就是涨跌幅的2x，可以想像我们现在交易的线变成了y = 2x: 如果买在蓝线上某个点，每次underlying涨一块钱，我就赚两块；跌一块钱就等于亏两块。
在接着画x²之前，我们线稍微暂停一下，看一下选择权的定价。
选择权的定价
虽然选择权的定价比较复杂，但我们这里简单撷取两个重点：
(1) 买权的价格，在现价归零的时候为0；高过执行价格越多，越接近现价减履约价。
(2) 价格会是一条convex曲线(斜率从0递增至1)，而非像期货或是现货交易是一条直线。
我们直接带入black-sholes公式，做个图给大家看选择权的价格如何变动：
我们可以发现，三条选择权价格曲线的斜率(delta)都由0变到趋近1，只是上升最快(gamma最大)的时间点不同。
对于上图黑线(strike price = 5)来说，几乎整条线都是斜率为1，因为早在价格上升到6~7左右开始，这个选择权就已经deep in the money，被执行的机率接近100%，因此已经变成一条跟spot一样无聊的直线。
大部分的人不太会去交易deep in the money 或是deep out the money的选择权，因为deep in the money的选择权的线就像上述的黑线，或是整张图靠右的部分(现价很高的情况，所有买权都in the money)，大家的价格变动就跟现价（红线）一样。Deep out the money的情况则像是上图左侧：假如现在现价接近0，三个买权的价格都是0，斜率也接近为0，要一直等到现价稍微接近strike price时，才开始有价值。所以在真的deep out the money的一段时间内买了等于没买。
所以选择权交易者在意的是什么？
在这个scale底下，最明显有感的是绿色(strike price = 15)的线。他展现出了convex曲线的特性，就是当现价在15块附近的时候，每涨一块你只会多赚半块，但是随着价格高于15越来越多，你最后可以享受跟spot price一样的涨幅。而当价格往下跌的时候，随着价格低于15越来越多，你的每单位损失也越来越少(在spot price低于7左右之后，你就不会再亏钱了)。
这样的一个「每单位现价涨跌，我的单位收益\亏损也会变动」区间，也就是让线条长得很像曲线的区间，可以被视为交易选择权的「原因」。因为如果超出这个区间了，也就是这条线看起来就像直线了，那么交易选择权其实没什么价值，跟你用杠杆交易差不多（可以做到任何直线）。
这一个区间，用选择权的术语来描述就是一个gamma 明显大于零的区间。gamma比较浅显的定义就是这样一条线的「斜率变动率」，也就是我们刚刚画的这类型的线的二阶微分（一阶微分为斜率、二阶微分就是斜率的斜率）。这也是为什么很多人会说，交易选择权就是为了trade gamma。
好了，所以我们发现，如果大部分交易员，真正想做的事情是trade gamma（这解释了为什么大部分市场gamma = 0 也就是deep in the money or deep out the money的选择权没有人要交易）。那么既然如此，那我们何不做一条永远让gamma不等于零的线给大家交易呢？这就是x² 的由来。
最简单的微积分
相信聪明的大家已经猜到，我们这里在做的事情就是做一条曲线其gamma （f(x)二阶微分）永远大于零的线。而使用y = x²就是最简单的方法，其gamma = 2。我们来画个图。
这个图有点难看，因为看起来跑太快了，我们随便加一个scaling 在前面：
这样就会发现，这条曲线在大约[10–20]这个区间内，跟绿线(选择权价格)变得很像了吧。 好处是，即使超出了这个区间，gamma还是一个固定的值，也就是他反而变得像strike price 更高的选择权的价格变动。
说了这么多，要讲的就这样：
交易一条y = x² 的曲线，可以制造出选择权交易员真正需要的gamma exposure。
一些基本分析
看懂了「为什么」之后，我这里在简单列出几点有趣的点。
Pros
交易Power Perpetual相较于选择权有几个好处：例如我们不再会因为不同的到期日、履约价分割流动性，理论上流动性越好价格越好、市场也越健康。还有，需要长期exposure的交易者，也不再需要定期rollover他的仓位，这就像永续合约之于期货，我们相信做链上产品这个，能减少使用者的操作成本很重要，因此没有到期日是一个非常大的优势。
Cons
坏处呢？我觉得也满明显的，就是会牺牲很多选择权基本的use case。由上面我们的推理不难看出，这么做的理论依据来自于：交易选择权都是为了这条收益曲线这个假设，也就是「大家都是因为gamma才交易选择权」。
但大家都知道，选择权最基本的定义就是一个有到期日的契约，什么delta、 gamma，反而是大家先推出怎么样公平的定价选择权之后，才订出的一些参数。也就是说，这个产品其实不能反过来取代选择权、或是被拿来做一些最基本的use case：例如买「卖权」来当保险，以免拿到公司股票之前股票暴跌；或是某个人真的想要在未来某个时间点买入多少股，所以先买好买权… 等等。这些情境，反而很难利用「eth²」来做到。
所以说，这个产品只适合给为了gamma而交易的使用者，如果大家其实都真心需要用到选择权才买卖，那麽这个产品就是一个超级难用的东西，或者说根本不会被用。所以我们做这个产品冒了一个「分割使用者」的风险，会不会因为use case变少，反而整体流动性更低呢？也是有可能的。
Funding
最后值得一提的点，就是关于funding。在永续合约中，funding是用来确保真正的「交易价格(mark)」跟「指标(index)」相符的机制。当mark > index，long pays short；当mark < index, short pays long。
在一般的perpetual中，funding的期望值应该是0，也就是偶尔mark 会比index 高，偶尔会比index较低，但无论高或低如果差到太多，都会有明显的套利机会把mark price代回一个合理的范围。
今天如果我们改成交易y =x² ，也可以套用一样的funding规则，但是一个「理性」的市场应该会表现得跟传统永续合约不一样：应该永远都会是long pays short，也就是mark price应该永远都会比 index price高。
直白的解释：选择权一向都是买家付权利金给卖家，所以long pays short 很合理。
认真一点思考，其实这呼应了我们上一篇关于价格的介绍文末对于convexity的叙述：大家都想要一条convex 曲线，因为越涨赚越多、越跌赔越少，因此你应该要付一个premium让人跟你对赌(short eth²)。
直接举个例，假如今天ETH price = 100，现在交易eth² funding为零，也就是开一个long position不需要付任何费用，那么我们可以套利如下：
- Long 1 squeeth (squeeth = eth², 价值=100 * 100 = 10000)
- Short 200 eth
假如eth 涨到101，我总共会多赚一块：
- long 1 squeeth = 101 * 101= 10201, (+201)
- short 200 eth = 101 * 200 = 20200, (-200)
如果eth 跌到99，我也是多赚一块：
- long 1 squeeth = 99 * 99 = 9801 (-199)
- short 200 eth = 99 * 200 = 19800 (+200)
所以我们知道，没有funding的话是不公平的，因此一个有效的市场中，它的mark一定会永远高于index。
PS. 每天都要付钱给short方其实是一件还满不小的开销，以平均140%波动率来算，大约每天要付仓位总价值的 0.4%。
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